Penrose-Dreieck: Die unmögliche Figur aus 1934

Ein Dreieck, das es nicht geben kann

Stellen Sie sich vor, Sie halten ein Dreieck in den Händen, das aus drei massiven Balken besteht. Jeder Balken trifft im rechten Winkel auf den nächsten, alles wirkt stabil und logisch. Und doch gibt es diesen Gegenstand nirgends auf der Welt. Sie können ihn nicht kaufen, nicht bauen, nicht einmal aus Lego zusammensetzen. Was Sie sehen, existiert nur auf dem Papier. Genau das ist das Penrose-Dreieck, und es gehört zu den faszinierendsten Täuschungen, die das menschliche Auge kennt.

Solche Gebilde nennt man unmögliche Figuren. Es sind geometrische Konstruktionen, die nur in der zweidimensionalen Zeichnung Bestand haben. In der realen, dreidimensionalen Welt lassen sie sich nicht zusammenfügen, weil die Teile, die auf dem Blatt scheinbar zusammenstoßen, im Raum niemals an derselben Stelle zusammentreffen könnten. Damit legen sie auf eindrucksvolle Weise offen, wie unsere Wahrnehmung arbeitet und wo ihre Grenzen liegen.

Beim Penrose-Dreieck verbinden sich drei kräftige Balken scheinbar zu einem geschlossenen Dreieck. Ihr Auge liest die flache Zeichnung sofort als räumlichen Körper und ist überzeugt, ein echtes Objekt vor sich zu haben. Doch dieser Eindruck hält der Prüfung nicht stand. Die Perspektive lässt sich so deuten, dass die rechte Seite des Dreiecks von Ihnen wegweist, während die linke auf Sie zukommt. Beide Lesarten zusammen ergeben einen Widerspruch, den der Verstand nicht auflösen kann. Sie sehen etwas, das es nicht geben kann, und genau dieser Moment des Stolperns macht den Reiz aus.

Der Mann, der diese Figur als Erster zeichnete, war der schwedische Künstler Oscar Reutersvärd. Bereits 1934 entwarf er das Penrose-Dreieck, lange bevor es seinen heutigen Namen erhielt. Reutersvärd gehörte zu den ersten, die gezielt mit dreidimensional wirkenden Formen arbeiteten, die sich physisch nicht bauen lassen. Aus diesen Blättern entstand nach und nach eine eigene Bildtradition, die man später als die Welt der unmöglichen Figuren bezeichnete.

Das Penrose-Dreieck ist bis heute der bekannteste Einstieg in dieses Feld. Es braucht keine Vorkenntnisse, keine Formeln, nur einen Blick. Und doch genügt dieser eine Blick, um zu spüren, dass Sehen und Verstehen nicht immer dasselbe sind.

Oscar Reutersvärd: Der vergessene Pionier von 1934

Die Spur dieser Figur führt zuerst zu einem schwedischen Zeichner, der etwas festhielt, das es eigentlich nicht geben durfte. Oscar Reutersvärd entwarf das Penrose-Dreieck bereits im Jahr 1934, rund zwei Jahrzehnte bevor jene Veröffentlichung erschien, die die Figur weltberühmt machen sollte. Wer heute von unmöglichen Figuren hört, denkt meist an Mathematik und an große Namen. Dabei stand am Anfang ein Skizzenblatt.

Reutersvärd gilt als einer der ersten Künstler, die bewusst mit körperlich nicht baubaren dreidimensionalen Formen arbeiteten. Er zeichnete Gebilde, die auf dem Papier vollkommen überzeugend wirken und sich im Raum trotzdem niemals zusammenfügen lassen. Aus diesen Arbeiten entstand die Tradition der sogenannten unmöglichen Figuren, ein eigenes Feld zwischen Zeichenkunst und Wahrnehmungsforschung.

Was den Fall so bemerkenswert macht, ist die Reihenfolge der Ereignisse. Zuerst kam die Zeichnung, dann das Staunen und erst viel später die mathematische Erklärung. Die Idee war ihrer Berühmtheit also um gut zwanzig Jahre voraus.

Der britische Mathematiker Roger Penrose stieß erst 1954 auf diese Art von Figuren, nach seiner Teilnahme am Internationalen Mathematikerkongress in Amsterdam. Der Überlieferung nach sah er dort Arbeiten des niederländischen Grafikers M. C. Escher, die seinen Blick für derartige Trugbilder schärften. Eine Ausstellung mit Escher-Werken während des Kongresses ist allerdings nicht sicher belegt.

Vier Jahre später, im Jahr 1958, veröffentlichten Roger Penrose und sein Vater Lionel Penrose gemeinsam einen Fachartikel mit dem Titel „Impossible objects: a special type of visual illusion“ in der Zeitschrift British Journal of Psychology. Erst dieser Text brachte die unmöglichen Objekte in die breite wissenschaftliche und künstlerische Öffentlichkeit.

So steht am Anfang dieser Geschichte kein Lehrstuhl und keine Formel, sondern die ruhige Hand eines schwedischen Zeichners. Er sah etwas, das es nicht geben durfte, und zeichnete es einfach auf.

Amsterdam 1954: Wie Roger Penrose auf die Idee stieß

Im Jahr 1954 reist ein junger britischer Mathematiker namens Roger Penrose zum Internationalen Mathematikerkongress nach Amsterdam, dem größten Treffen seiner Zunft. Was er in diesen Tagen sieht, wird ihn nicht mehr loslassen und ihn Jahre später zu einer der berühmtesten Figuren der visuellen Mathematik führen: dem Penrose-Dreieck.

Denn Penrose beschäftigte sich mit unmöglichen Figuren, und zwar unabhängig von Oscar Reutersvärd. Der schwedische Künstler hatte solche Gebilde bereits 1934 gezeichnet, lange bevor der Brite überhaupt davon wusste. Zwei Menschen, zwei Länder, dieselbe Faszination für Formen, die es in der Wirklichkeit nicht geben kann.

Der Überlieferung nach sah Penrose während seines Aufenthalts in Amsterdam Werke des niederländischen Grafikers M. C. Escher. Dieser Ausstellungsbesuch ist allerdings nicht sicher belegt. Was sich mit Gewissheit sagen lässt: Der Kongress und die Begegnung mit der niederländischen Kunstszene gaben ihm den entscheidenden Anstoß, sich intensiv mit unmöglichen Formen auseinanderzusetzen.

Vier Jahre später wurde aus der Idee ein wissenschaftliches Dokument. Gemeinsam mit seinem Vater Lionel Penrose veröffentlichte Roger Penrose 1958 den Fachartikel Impossible objects: a special type of visual illusion in der British Journal of Psychology. Aus einer persönlichen Faszination war damit ein Beitrag zur Wahrnehmungsforschung geworden, der bis heute zitiert wird.

Damit war der Weg geebnet. Was als flüchtiger Eindruck in einem Amsterdamer Sommer begann, wurde zu einem festen Begriff in Mathematik, Kunst und Popkultur. Und der Name, der bis heute an dieser Figur hängt, ist der von Roger Penrose.

M. C. Escher und die Kunst der unmöglichen Treppe

Eine Treppe, die immer weiter nach oben führt und am Ende wieder am Ausgangspunkt landet: Genau dieses Gefühl der unmöglichen Bewegung hat einen der größten Grafiker des 20. Jahrhunderts zu zwei seiner berühmtesten Werke inspiriert, M. C. Escher.

Die entscheidende Anregung kam von außen. Der britische Mathematiker Roger Penrose hatte sich 1954 mit unmöglichen Figuren beschäftigt, nachdem er am Internationalen Mathematikerkongress in Amsterdam teilgenommen hatte. Der Überlieferung nach sah er dort Arbeiten des niederländischen Grafikers M. C. Escher, was seine Faszination für derartige Formen zusätzlich befeuerte. Eine Ausstellung mit Escher-Werken während des Kongresses ist jedoch nicht sicher belegt. Gemeinsam mit seinem Vater Lionel Penrose veröffentlichte er 1958 den Fachartikel Impossible objects: a special type of visual illusion in der British Journal of Psychology. Darin stellten die beiden das Penrose-Dreieck und die Penrose-Treppe einem breiteren Publikum vor.

Escher griff die Anregung auf. Sobald er von der Arbeit der Penroses erfuhr, begann er, die unmöglichen Figuren in seine eigenen Kompositionen zu übertragen. Was dabei entstand, war weit mehr als eine mathematische Illustration. Es war Kunst, die den Betrachter in einen stillen, irritierenden Bann zieht.

„Waterfall“ (1961): Wasser, das bergauf fließt

In Eschers Werk Waterfall aus dem Jahr 1961 sehen Sie einen Wasserlauf, der scheinbar stetig nach oben fließt. Das Wasser folgt seinen Kanälen, gewinnt dabei an Höhe und endet schließlich höher, als es begonnen hat. Physikalisch ist das unmöglich. Escher aber nutzt genau die Logik des Penrose-Dreiecks, um diesen Widerspruch so selbstverständlich wirken zu lassen, dass das Auge erst nach einigen Sekunden stutzt.

„Ascending and Descending“ (1960): Menschen, die nirgendwo ankommen

Ein Jahr zuvor, 1960, entstand Ascending and Descending. Hier zeigt Escher eine Treppe, die in einem geschlossenen Kreislauf verläuft. Menschen gehen in derselben Richtung, die einen scheinbar hinauf, die anderen hinab. Doch der Kreislauf kennt keinen echten Höhenunterschied. Wer die Treppe entlanggeht, bewegt sich ununterbrochen, kommt aber niemals oben oder unten an. Die Penrose-Treppe, eine Variante des Penrose-Dreiecks, wird hier zur Bühne einer stillen Endlosschleife.

Genau diese Idee hat eine erstaunliche Karriere im Kino gemacht. Im Film Inception aus dem Jahr 2010 taucht eine an die Penrose-Treppe angelehnte Szene auf, in der eine Figur die Stufen entlanggeht und am Ende wieder an ihren Ausgangspunkt zurückkehrt. Berichten zufolge wurde die Treppe auch im Film The Avengers von 1998 als visuelles Element verwendet, doch diese Verwendung ist nicht zuverlässig belegt.

Was Escher aus einer mathematischen Anregung gemacht hat, bleibt bemerkenswert: Aus einer abstrakten Figur wurde eine Bildsprache, die bis heute Künstler, Filmemacher und Mathematiker gleichermaßen beschäftigt.

Die Penrose-Treppe in der Popkultur

Was in den Skizzenbüchern von Mathematikern und Grafikern begann, ist längst im Alltag angekommen. Die Penrose-Treppe, jene unmögliche Figur, die scheinbar endlos nach oben führt und doch immer wieder am Ausgangspunkt landet, hat den Sprung in die breite Öffentlichkeit geschafft. Sie ist zum vertrauten Bild geworden, zum Sinnbild dafür, dass unsere Wahrnehmung sich täuschen lässt.

Besonders eindrucksvoll zeigt sich das im Kino. Im Film „Inception“ aus dem Jahr 2010 taucht eine an die Penrose-Treppe angelehnte Szene auf. Eine Figur bewegt sich eine Treppe entlang, die einen geschlossenen Kreislauf bildet. Sie steigt und steigt, und doch führt kein Weg aus der Schleife heraus. Genau dieses Gefühl, gefangen zu sein in einer Bewegung ohne Ziel, macht die Szene so verstörend und so einprägsam.

Berichten zufolge soll die Treppe bereits früher als visuelles Element im Film verwendet worden sein. Für das Jahr 1998 wird in diesem Zusammenhang der Film „The Avengers“ genannt. Diese Angabe ist allerdings nicht zuverlässig belegt. Wer sich auf die Suche nach einer konkreten Szene begibt, stößt auf widersprüchliche Hinweise. Sicher ist nur, dass die unmögliche Treppe spätestens mit „Inception“ ein Millionenpublikum erreichte.

Und damit schließt sich ein Kreis, der weit über die Kinoleinwand hinausreicht. Denn die Penrose-Treppe ist nur ein Verwandter des Penrose-Dreiecks, jener ebenso unmöglichen Figur, die 1934 von dem schwedischen Künstler Oscar Reutersvärd entworfen wurde. Was als mathematische Spielerei und künstlerische Provokation begann, wurde zur vertrauten Sehgewohnheit. Die unmögliche Figur ist längst möglich geworden, zumindest im Reich der Bilder.

Vielleicht ist das die eigentliche Pointe dieser Geschichte. Eine Figur, die in der realen Welt keinen Bestand hat, hat sich in unserer Vorstellung dauerhaft eingerichtet. Sie erinnert uns daran, dass Wahrnehmung kein Abbild der Wirklichkeit ist, sondern eine Deutung. Und manchmal genügt ein Blick auf eine Treppe, die nirgendwohin führt, um genau das zu spüren.

Warum nehmen wir unmögliche Figuren überhaupt als dreidimensional wahr?

Weil unser Sehsystem aus flachen Linien und Winkeln blitzschnell einen Raum konstruiert. Das Auge liefert nur zweidimensionale Reize, doch das Gehirn deutet sie als Tiefe, als Nähe und Ferne. Beim Penrose-Dreieck genügt diese Deutung, um einen Körper zu sehen, den es in der Wirklichkeit nicht geben kann. Genau darin liegt der Reiz.

Solche Figuren sind deshalb weit mehr als ein hübscher Scherz. Sie sind ein Werkzeug, mit dem sich die Grenzen der menschlichen Wahrnehmung regelrecht vorführen lassen. Sie zeigen, wie das Gehirn visuelle Informationen interpretiert und aus zweidimensionalen Reizen einen dreidimensionalen Eindruck zusammensetzt. Und sie machen sichtbar, an welcher Stelle diese Konstruktion an ihre Grenze stößt.

An der Schnittstelle von Kunst und Mathematik entfalten diese Zeichnungen ihre eigentliche Wirkung. Sie regen dazu an, die eigene Sehwahrnehmung zu hinterfragen und das Verständnis von Raum neu zu prüfen. Wer eine Weile auf das Penrose-Dreieck blickt, merkt, wie schwer es fällt, die Illusion fallen zu lassen. Selbst wenn Sie wissen, dass die Figur unmöglich ist, bleibt der dreidimensionale Eindruck bestehen.

Vielleicht ist das die schönste Lehre dieser Figuren. Sie führen uns vor Augen, dass wir die Welt nie so sehen, wie sie ist, sondern immer so, wie unser Gehirn sie für uns zusammensetzt. Und dass zwischen dem, was wir wahrnehmen, und dem, was tatsächlich existiert, ein kleiner, faszinierender Spalt liegt.