Größte bekannte Primzahl: 52. Mersenne-Primzahl mit 41 Mio. Stellen

Eine neue Rekordzahl nach sechs Jahren

Im Oktober 2024 hat der Amateurmathematiker Luke Durant die derzeit größte bekannte Primzahl entdeckt. Die Zahl umfasst 41.024.320 Dezimalstellen und ist damit rund 16 Millionen Stellen länger als der bisherige Rekord. Sechs Jahre lang hatte keine neue Rekordprimzahl das Licht der Welt erblickt, nun hat ein Hobbyforscher mit viel Geduld und cleverer Technik Geschichte geschrieben.

Der vorherige Rekord stammte aus dem Dezember 2017. Damals war es Jonathan Pace, ein Elektroingenieur, der die damals größte bekannte Primzahl aufspürte. Sein Fund hielt sich beachtliche sechs Jahre an der Spitze, bevor Durant ihn übertraf.

Eine wichtige Klarstellung vorab: Es gibt keine größte Primzahl an sich. Mathematiker haben längst bewiesen, dass die Primzahlen unendlich viele sind. Es geht also immer nur um die größte bekannte Primzahl, den aktuellen Spitzenreiter in einem Wettlauf, der niemals endet. Jede neue Entdeckung verschiebt die Grenze des Machbaren ein Stück weiter.

Die neue Zahl wird als 52. Mersenne-Primzahl bezeichnet. Diese Nummerierung ist allerdings nicht unumstritten, denn die Reihenfolge der Entdeckungen entspricht nicht immer der numerischen Reihenfolge der Zahlen selbst. Manche Experten argumentieren, dass die Zählweise präziser sein könnte, doch in der Community hat sich diese Bezeichnung eingebürgert.

Was Durant besonders macht: Er ist kein professioneller Forscher an einer Universität, sondern ein Mathematikbegeisterter, der die Suche nach Primzahlen als Hobby betreibt. Seine Entdeckung zeigt eindrucksvoll, dass auch außerhalb akademischer Institutionen Großes gelingen kann, wenn Leidenschaft und moderne Technik zusammenkommen.

Warum die Jagd nach Primzahlen auch Ihre Sicherheit betrifft

Primzahlen sind die Bausteine aller natürlichen Zahlen. Mathematiker nennen sie deshalb oft die Atome der Mathematik, denn jede Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen. Die Zahl 12 etwa zerfällt in 2 × 2 × 3. Manche Zahlen wie 2, 3, 5, 7 oder 11 lassen sich dagegen nicht weiter zerlegen. Diese besonderen Zahlen heißen Primzahlen.

Doch warum ist die Suche nach immer größeren Exemplaren so wichtig? Die Antwort hat mit Ihrer Sicherheit zu tun. Ohne Primzahlen wären Online-Banking, sicheres Einkaufen im Internet und verschlüsselte Nachrichten schlichtweg nicht möglich.

Der Grund liegt in einem einfachen Prinzip: Kleine Zahlen lassen sich mühelos in ihre Faktoren zerlegen. Je größer eine Zahl jedoch wird, desto schwieriger wird diese Aufgabe. Genau diese Schwierigkeit machen sich Verschlüsselungsverfahren wie RSA zunutze. Sie stützen sich darauf, dass es praktisch unmöglich ist, eine Zahl mit mehreren hundert Stellen in ihre Primfaktoren zu zerlegen, selbst mit den leistungsfähigsten Computern.

Je größer die bekannten Primzahlen werden, desto größer können auch die Schlüssel für Verschlüsselungen gewählt werden. Und größere Schlüssel bedeuten potenziell mehr Sicherheit für Ihre Daten. Die Entdeckung einer neuen größten bekannten Primzahl ist daher nicht nur eine akademische Spielerei, sondern hat handfeste Auswirkungen auf den Schutz Ihrer digitalen Kommunikation.

Dass diese Zahlen inzwischen schier unvorstellbare Dimensionen annehmen, zeigt der jüngste Rekordfund: Eine Primzahl mit über 41 Millionen Dezimalstellen, entdeckt im Oktober 2024 von einem Amateurmathematiker namens Luke Durant. Der ehemalige NVIDIA-Mitarbeiter nahm am Gemeinschaftsprojekt GIMPS teil, der Great Internet Mersenne Prime Search, das seit 1996 weltweit nach neuen Mersenne-Primzahlen sucht. Für seinen Fund erhielt Durant ein Forschungsgeld von 3.000 US-Dollar von GIMPS.

Doch die Jagd geht weiter. Die Electronic Frontier Foundation hat für die Entdeckung der ersten Primzahl mit 100 Millionen Stellen ein Preisgeld von 150.000 US-Dollar ausgelobt. Für die erste mit einer Milliarde Stellen winken sogar 250.000 US-Dollar. Diese Summen zeigen, wie viel Bedeutung der Mathematikgemeinschaft an der Erforschung dieser Zahlen liegt.

Die Spur führt zu Marin Mersenne

Die Jagd nach immer größeren Primzahlen führt unweigerlich zu einem französischen Mönch aus dem 17. Jahrhundert. Marin Mersenne (1588, 1648) war Theologe, Philosoph und Mathematiker zugleich, und er entwickelte eine Methode, die bis heute die Grundlage für die Suche nach den größten bekannten Primzahlen bildet.

Sein Ansatz war ebenso einfach wie genial. Statt wahllos Zahlen zu prüfen, konzentrierte er sich auf eine ganz bestimmte Zahlenfamilie: Zahlen der Form 2^p, 1. Wenn eine solche Zahl eine Primzahl ist, spricht man von einer Mersenne-Primzahl. Und genau diese Zahlen sind es, die regelmäßig neue Rekorde aufstellen.

In seinem Werk Cogitata Physica-Mathematica aus dem Jahr 1644 veröffentlichte Mersenne eine Liste mit denjenigen Werten von p, die seiner Überzeugung nach Primzahlen ergeben würden. Seine Auswahl umfasste p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 und 257. Ein bemerkenswertes Stück mathematischer Intuition, denn ohne Computer war diese Vorhersage eine enorme intellektuelle Leistung.

Allerdings war Mersenne nicht unfehlbar. Heute wissen wir, dass er sich in fünf Fällen irrte: Die Werte 67 und 257 ergeben nämlich zusammengesetzte Zahlen, während er die drei Primzahlen 61, 89 und 107 übersehen hatte. Das ändert jedoch nichts daran, dass seine Methode einen entscheidenden Vorteil bietet: Sie gibt der Suche nach großen Primzahlen eine klare Struktur.

Nicht jede Mersenne-Zahl ist nämlich automatisch eine Primzahl. Das zeigt das Beispiel von 2¹¹, 1, was 2047 ergibt. Diese Zahl ist zusammengesetzt, denn sie lässt sich als 23 × 89 darstellen. Der Exponent 11 ist also prim, die daraus resultierende Mersenne-Zahl jedoch nicht. Diese Erkenntnis ist grundlegend für das Verständnis der größten bekannten Primzahl, denn sie zeigt, wie anspruchsvoll die Suche tatsächlich ist.

Mersennes Liste erwies sich dennoch als außergewöhnlich wertvoll. Sie gab späteren Mathematikern eine klare Orientierung, welche Zahlen es sich lohnte zu untersuchen. Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler bestätigte 1750, dass 2³¹, 1 eine Primzahl ist. Mehr als ein Jahrhundert später, im Jahr 1876, gelang dem Franzosen Édouard Lucas der Nachweis, dass auch 2¹²⁷, 1 eine Primzahl ist. Beide Zahlen stammten direkt aus Mersennes Liste.

Der nächste große Sprung kam mit der Computertechnik. Im Jahr 1952 schrieb der amerikanische Mathematiker Raphael Robinson ein Programm, mit dem er innerhalb von zehn Monaten fünf weitere Mersenne-Primzahlen entdeckte. Damit begann eine neue Ära: Die Suche nach der größten bekannten Primzahl war nun eine Aufgabe für Maschinen.

Von Euler bis zum Computerzeitalter

Die Jagd nach immer größeren Primzahlen ist eine Geschichte von Geduld, Irrtümern und schließlich maschineller Präzision. Über Jahrhunderte verließen sich Mathematiker auf ihre Intuition und ihre Rechenfertigkeit. Heute übernehmen Computer diese Arbeit, und sie tun das mit atemberaubender Geschwindigkeit.

Ein entscheidender Meilenstein gelang dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler. Im Jahr 1750 bestätigte er, dass die Zahl 2³¹ − 1 eine Primzahl ist. Das mag nach einer simplen Rechnung klingen, doch für die damalige Zeit war es eine gewaltige intellektuelle Leistung. Mehr als ein Jahrhundert später, 1876, zog der Franzose Édouard Lucas nach und verifizierte, dass auch 2¹²⁷ − 1 eine Primzahl ist. Diese Zahl besitzt bereits 39 Stellen, eine schier unvorstellbare Größe für die Rechenmethoden des 19. Jahrhunderts.

Doch die eigentliche Revolution sollte erst im 20. Jahrhundert kommen. Im Jahr 1952 schrieb der amerikanische Mathematiker Raphael Robinson ein Computerprogramm, das die Suche nach Mersenne-Primzahlen automatisierte. Innerhalb von nur zehn Monaten entdeckte Robinson damit fünf neue Mersenne-Primzahlen. Das war ein Wendepunkt. Was zuvor Jahre menschlicher Rechenarbeit erforderte, erledigte die Maschine nun in einem Bruchteil der Zeit.

Seit Robinsons Durchbruch hat sich das Muster etabliert: Jede neue Mersenne-Primzahl wird mit Hilfe von Computern gefunden. Die Ära des rein manuellen Rechnens war endgültig vorbei. Die Suche nach der größten bekannten Primzahl wurde zu einer Disziplin, die von Algorithmen, Prozessorleistung und verteilter Rechenkraft geprägt ist. Die Geschichte dieser Zahlen ist damit auch eine Geschichte der Computertechnologie selbst, von den ersten sperrigen Maschinen der 1950er Jahre bis zu den vernetzten Supercomputern von heute.

GIMPS: Wie Sie selbst mitmachen können

Seit 1996 suchen Freiwillige auf der ganzen Welt über das Projekt GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) nach neuen Mersenne-Primzahlen. Das Besondere daran: Jeder mit einem Computer und Internetzugang kann teilnehmen, und die Software ist kostenlos auf der GIMPS-Website erhältlich. Sie müssen kein Mathematikprofi sein, um einen Beitrag zur Suche nach der größten bekannten Primzahl zu leisten.

Die Idee hinter GIMPS ist ebenso einfach wie genial: Zahlreiche Freiwillige stellen ihre Rechenleistung zur Verfügung, und das Projekt bündelt diese verteilte Kraft zu einer gewaltigen Superrechner-Infrastruktur. Ende 2020 führte GIMPS den sogenannten PRP-Test ein. Diese neue Technik halbiert die Rechenzeit für die Suche nach potenziellen Primzahlen nahezu und reduziert gleichzeitig die Fehlerquote. Für die Freiwilligen bedeutet das: schnellere Ergebnisse mit weniger Aufwand.

Genau diese Infrastruktur nutzte Luke Durant, ein ehemaliger NVIDIA-Mitarbeiter, für seine bahnbrechende Entdeckung. Er kombinierte die Rechenleistung mehrerer Grafikkarten und fand damit die derzeit größte bekannte Primzahl. Die Suche nach immer größeren Mersenne-Primzahlen ist also ein Gemeinschaftsprojekt, an dem Sie sich aktiv beteiligen können.

Wer sich beteiligen möchte, lädt sich die kostenlose Software von der GIMPS-Website herunter, installiert sie und lässt den Computer im Hintergrund mitrechnen. Der Rechner arbeitet dann im Leerlauf an der Primzahlensuche, ohne dass Sie Ihre üblichen Aufgaben beeinträchtigt. Die Software übernimmt die Kommunikation mit dem Server, empfängt Zuweisungen und meldet Ergebnisse automatisch zurück.

Neben der persönlichen Genugtuung locken auch finanzielle Anreize: Für die Entdeckung einer neuen Mersenne-Primzahl zahlt GIMPS ein Forschungsgeld von 3.000 US-Dollar. Deutlich höhere Summen sind für besondere Meilensteine ausgelobt: Die Electronic Frontier Foundation (EFF) hat 150.000 US-Dollar für die erste Primzahl mit 100 Millionen Stellen und 250.000 US-Dollar für die erste mit einer Milliarde Stellen ausgesetzt. Diese Preise zeigen, wie bedeutsam die Suche nach der größten bekannten Primzahl für die Mathematik und die Kryptographie ist.

Die Teilnahme an GIMPS ist damit nicht nur ein Beitrag zur Grundlagenforschung, sondern auch eine spannende Möglichkeit, selbst Teil einer wissenschaftlichen Entdeckung zu werden. Vielleicht sind Sie die nächste Person, die einen neuen Rekord aufstellt.

Die Verbindung zu vollkommenen Zahlen

Vollkommene Zahlen haben Mathematiker und Laien seit Jahrtausenden fasziniert. Der Grund dafür ist ihre verblüffend einfache Definition: Eine Zahl ist vollkommen, wenn sie gleich der Summe ihrer echten Teiler ist. Die echten Teiler sind alle positiven Teiler außer der Zahl selbst.

Die kleinste vollkommene Zahl ist 6. Ihre Teiler sind 1, 2 und 3, und 1 + 2 + 3 ergibt genau 6. Die zweite vollkommene Zahl ist 28, denn 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Schon die alten Griechen kannten diese Zahlen und hielten sie für etwas Besonderes.

Der griechische Mathematiker Euklid, der um 300 vor Christus in Alexandria wirkte, entdeckte in seinen berühmten "Elementen" einen bemerkenswerten Zusammenhang: Wenn 2^p - 1 eine Primzahl ist, dann ist 2^(p-1) × (2^p - 1) eine vollkommene Zahl. Setzen Sie p = 2 ein, erhalten Sie 2^1 × (2^2 - 1) = 6. Mit p = 3 ergibt sich 2^2 × (2^3 - 1) = 28. Euklid fand also einen Weg, vollkommene Zahlen systematisch zu erzeugen, auch wenn er nicht bewies, dass dies der einzige Weg ist.

Genau hier kommt Marin Mersenne ins Spiel. Der französische Mönch und Mathematiker, der 1644 in seinem Werk "Cogitata Physica-Mathematica" eine Liste von p-Werten veröffentlichte, für die 2^p - 1 prim sein sollte, hatte auch die vollkommenen Zahlen gründlich untersucht. Seine Liste mit den Werten p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 und 257 diente Mathematikern über Jahrhunderte als Wegweiser bei der Suche nach vollkommenen Zahlen. Die ersten sieben Einträge seiner Liste entsprechen vollkommenen Zahlen, und seine Arbeit erwies sich als außerordentlich wertvoll für die weitere Forschung.

Die Jagd nach Mersenne-Primzahlen ist also untrennbar mit der Suche nach vollkommenen Zahlen verbunden. Jede neu entdeckte Mersenne-Primzahl liefert automatisch eine neue vollkommene Zahl. Und die größte bekannte Primzahl, die Luke Durant im Oktober 2024 im Rahmen des GIMPS-Projekts entdeckte, bringt nach diesem Zusammenhang auch eine bislang unbekannte vollkommene Zahl hervor.

Doch eine Frage beschäftigt Mathematiker seit rund 2000 Jahren und bleibt bis heute unbeantwortet: Gibt es ungerade vollkommene Zahlen? Alle bisher gefundenen vollkommenen Zahlen sind gerade. Ob auch eine ungerade existiert, konnte bislang niemand beweisen oder widerlegen. Es handelt sich um eines der ältesten ungelösten Probleme der Mathematik, und die Verbindung zu den Mersenne-Primzahlen macht die Suche nach der größten bekannten Primzahl umso bedeutsamer.

Was die Entdeckung Luke Durant eingebracht hat

Für seine Entdeckung der neuen größten bekannten Primzahl erhielt Luke Durant von GIMPS ein Forschungsgeld in Höhe von 3.000 US-Dollar. Das klingt auf den ersten Blick bescheiden für eine Zahl mit über 41 Millionen Stellen, doch die eigentlichen Jackpots stehen noch aus.

Die Electronic Frontier Foundation (EFF) hat für besondere Meilensteine der Primzahlforschung stattliche Prämien ausgelobt. Wer als Erster eine Primzahl mit 100 Millionen Dezimalstellen findet, kann sich über 150.000 US-Dollar freuen. Noch ambitionierter ist das Ziel der ersten Primzahl mit einer Milliarde Stellen: Dafür winken 250.000 US-Dollar.

Diese Preisgelder zeigen, wie bedeutsam die Jagd nach immer größeren Primzahlen für die Mathematik und die Kryptographie ist. Denn je größer die gefundenen Primzahlen sind, desto sicherer lassen sich darauf aufbauende Verschlüsselungsverfahren gestalten. Die neue Rekordzahl von Luke Durant ist dabei nicht nur ein Triumph für den Amateurforscher persönlich, sondern auch ein Beleg dafür, dass die Gemeinschaftsprojekte wie GIMPS auch nach fast drei Jahrzehnten nichts von ihrer Zugkraft verloren haben.