Apery-Sabiti: Der Beweis, den selbst Euler nicht fand

Einführung: Die Ankündigung, die niemand glauben wollte

Stellen Sie sich einen warmen Junitag im Jahr 1978 in Marseille vor. Auf den Fluren der Universität Luminy, wo die renommierten "Journées Arithmétiques" stattfinden, geht eine seltsame Nachricht um. Die Organisatoren haben kurzfristig einen Zusatzvortrag ins Programm aufgenommen. Ein gewisser Roger Apéry, ein französischer Mathematiker, will die Irrationalität von ζ(3) bewiesen haben. Genau jene Zahl, die heute als Apéry-Konstante bekannt ist.

Die Reaktion im Saal ist alles andere als Begeisterung. Skepsis macht sich breit. Generationen von Mathematikern haben sich an diesem Problem die Zähne ausgebissen. Die Legende will es, dass selbst der grosse Leonhard Euler, der geniale Schweizer Mathematiker des 18. Jahrhunderts, an dieser Frage gescheitert sein soll. Zwar gibt es keine historischen Belege dafür, dass Euler je einen Beweisversuch unternommen hat. Doch die Aura des Unmöglichen umgibt dieses Problem seit Jahrhunderten.

Und nun also dieser Apéry. Ein Mann in seinen Sechzigern, alles andere als ein Star der Fachwelt. Kaum jemand im Raum hat von ihm gehört. Umso grösser das Erstaunen, als er ans Pult tritt und ohne Umschweife mit seiner Präsentation beginnt.

Was dann folgt, ist kein akademischer Vortrag im üblichen Sinne. Apéry füllt die Tafel mit Gleichung um Gleichung, spricht dabei in schnellem Französisch und streut immer wieder kleine Scherze ein. Doch die entscheidenden Schritte seines Beweises überspringt er. Als die Zuhörer nachfragen, woher denn diese eine zentrale Gleichung stamme, die niemand je gesehen hat, antwortet er nur kryptisch: "Die wachsen in meinem Garten."

Ein Raunen geht durch den Saal. Mehrere Mathematiker stehen auf und verlassen den Raum. Sie sind überzeugt, Zeugen einer peinlichen Panne geworden zu sein. Doch einer bleibt. Henri Cohen, ein junger Mathematiker, der die Präsentation aufmerksam verfolgt, erkennt etwas, das die anderen übersehen. Er versteht den Kern von Apérys Argument. Und er macht sich sofort an die Arbeit, die Lücken zu schliessen.

Innerhalb weniger Monate gelingt es Cohen zusammen mit einer Gruppe von Kollegen, den Beweis rigoros zu rekonstruieren. Die Fachwelt muss einsehen: Apéry hatte recht. Die Zahl ζ(3), das Ergebnis der unendlichen Summe aller Kehrwerte der Kubikzahlen, ist irrational. Sie lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Der wenig bekannte Mathematiker aus Rouen hatte geschafft, woran sich die klügsten Köpfe über Jahrhunderte die Zähne ausgebissen hatten.

Der Mann, der die Lücken schloss: Henri Cohen

Während die meisten Zuhörer den Saal enttäuscht oder verärgert verließen, blieb ein Mann konzentriert zurück: Henri Cohen, ein französischer Mathematiker, der den Kern von Apérys Argumentation trotz der chaotischen Präsentation erfasste. Er erkannte, dass hinter den scheinbar zusammenhanglosen Gleichungen eine brillante Idee steckte. Cohen machte sich sofort an die Arbeit.

Innerhalb weniger Monate rekonstruierte er gemeinsam mit einer Gruppe von Mathematikern den Beweis rigoros und vollständig. Es war eine mühsame Detektivarbeit: Jede Lücke musste geschlossen, jede stillschweigende Annahme offengelegt und jeder Rechenschritt verifiziert werden. Die Gruppe arbeitete sich durch Apérys fragmentarische Notizen und ergänzte die fehlenden Beweisglieder mit eigenen Überlegungen.

Die Fachwelt musste schließlich einlenken: Apéry hatte tatsächlich bewiesen, dass die Apéry-Konstante, also der Wert ζ(3), irrational ist. Ungefähr zwei Monate nach dem Vortrag stand fest, dass der französische Mathematiker etwas geschafft hatte, woran sich Generationen von Forschern die Zähne ausgebissen hatten. Die Erleichterung in der Gemeinschaft war groß, und viele Kollegen gratulierten Apéry zu seiner Leistung.

Doch die erhoffte Welle neuer Ergebnisse blieb aus. Viele Mathematiker hatten erwartet, dass Apérys Methode den Weg ebnen würde, um auch andere ungerade Zeta-Werte wie ζ(5), ζ(7) oder ζ(9) als irrational zu beweisen. Manche vermuteten, dies sei nur eine Frage von ein oder zwei Jahren. Bis heute jedoch ist die Irrationalität nur für wenige weitere ungerade Zeta-Werte bewiesen worden. Die Apéry-Konstante bleibt damit ein herausragender Meilenstein ohne direkte Nachfolger.

Auch die tiefere mathematische Struktur dieser Zahl gibt der Forschung weiterhin Rätsel auf. Zwar taucht ζ(3) in der Quantenelektrodynamik auf, etwa bei der Berechnung des anomalen magnetischen Moments des Elektrons, wo sie den Einfluss virtueller Teilchen auf die Streuung von Elektronen beschreibt. Doch warum genau dieser Wert mit diesen physikalischen Phänomenen zusammenhängt und welche verborgenen Beziehungen er zu anderen mathematischen Objekten hat, ist bis heute unverstanden. Die Apéry-Konstante wirkt wie eine Insel: klar umrissen, aber ohne sichtbare Brücken zum Festland der übrigen Mathematik.

Was ist die Apéry-Konstante überhaupt?

Die Apéry-Konstante ist der Wert der Riemannschen Zeta-Funktion an der Stelle 3, also ζ(3). Konkret handelt es sich um eine unendliche Summe: 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 und so weiter, wobei jeder Term der Kehrwert einer Kubikzahl ist. Dass diese Zahl irrational ist, bedeutet schlicht: Sie lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Der Name ehrt den französischen Mathematiker Roger Apéry, der diesen Nachweis 1978 führte.

Um zu verstehen, warum diese Zahl die Fachwelt so bewegt, hilft ein Blick auf ihre Natur. Stellen Sie sich vor, Sie addieren die Kehrwerte aller Kubikzahlen: 1 plus 1/8 plus 1/27 plus 1/64. Die Reihe konvergiert, das heißt, sie nähert sich einem festen Wert. Diesen Wert nennt man ζ(3), und genau dieser Wert ist die Apéry-Konstante.

Das Besondere daran: Für gerade Exponenten, etwa ζ(2) oder ζ(4), hatte Leonhard Euler bereits im 18. Jahrhundert elegante Formeln gefunden. Diese Werte hängen mit Potenzen von π zusammen. Bei ungeraden Exponenten jedoch, und besonders bei ζ(3), versagten alle bekannten Methoden. Über zwei Jahrhunderte lang wusste niemand, ob diese Zahl rational oder irrational ist.

Roger Apéry, geboren 1916 in Rouen und gestorben 1994 in Caen, war zu seiner Zeit kein besonders prominenter Mathematiker. Umso überraschender wirkte seine Ankündigung im Juni 1978 auf einer Konferenz in Marseille-Luminy. Er behauptete, einen Beweis für die Irrationalität von ζ(3) gefunden zu haben. Die Fachwelt reagierte zunächst mit Skepsis, denn Apérys Präsentation war lückenhaft und schwer nachvollziehbar. Erst als der Mathematiker Henri Cohen die Kernidee erfasste und mit Kollegen die fehlenden Schritte rekonstruierte, wurde der Beweis innerhalb weniger Monate anerkannt.

Die Apéry-Konstante ist damit weit mehr als eine kuriose Zahl. Sie markiert eine Grenze des mathematischen Wissens. Bis heute weiß niemand, ob ζ(5), ζ(7) oder andere ungerade Zeta-Werte irrational sind. Die Apéry-Konstante bleibt ein einsamer Meilenstein in einem Terrain, das sich der Forschung hartnäckig entzieht.

Der Beweis, den Euler verpasste: Ein Blick in die Geschichte

Seit der Antike ringen Mathematiker mit einer scheinbar einfachen Frage: Welche Zahlen lassen sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen? Schon die Pythagoreer, eine philosophisch-mathematische Schule im antiken Griechenland, wurden vor etwa 2500 Jahren erschüttert, als eines ihrer Mitglieder bewies, dass die Quadratwurzel aus 2, also √2, sich nicht als solcher Bruch schreiben lässt. Diese Entdeckung erschütterte ihr Weltbild, das besagte, alles sei durch Zahlenverhältnisse ausdrückbar.

Im Laufe der Jahrhunderte kamen weitere besondere Zahlen hinzu. Die Kreiszahl π begegnet uns bei Flächen- und Volumenberechnungen, die Eulersche Zahl e ist die Basis des natürlichen Logarithmus. Doch Beweise für die Irrationalität solcher Zahlen blieben lange Zeit eine Seltenheit. Im 18. Jahrhundert gelang dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler der Nachweis, dass e irrational ist. Sein Landsmann Johann Heinrich Lambert zeigte 1768 dasselbe für π. Euler bewies zudem, dass alle geraden Zeta-Werte, also ζ(2), ζ(4), ζ(6) und so weiter, rationale Vielfache von Potenzen von π sind. Diese Formel trägt bis heute seinen Namen.

Doch für die ungeraden Zeta-Werte fehlten schlicht die Werkzeuge. Die damals übliche Methode, eine Zahl über die Approximation durch Brüche als irrational zu entlarven, scheiterte an der zu langsamen Konvergenz. Wichtig ist dabei eine Klarstellung: Entgegen einer verbreiteten Anekdote gibt es keine historischen Belege dafür, dass Euler jemals einen Beweisversuch für die Irrationalität von ζ(3) unternahm. Diese Behauptung hält einer Prüfung der Aufzeichnungen nicht stand.

Roger Apéry, ein französischer Mathematiker, der von 1916 bis 1994 lebte, gelang 1978 der Durchbruch. Sein Geniestreich bestand darin, eine völlig neue, viel schneller konvergierende Bruchfolge zu konstruieren, und zwar unter Rückgriff auf jahrhundertealte mathematische Werkzeuge. Ein späterer Fachartikel bezeichnete seinen Beweis treffend als den Beweis, den Euler übersah. Damit war die Irrationalität der Apéry-Konstante, also von ζ(3), erstmals zweifelsfrei belegt.

Die Zeta-Funktion: Vom Basler Problem zur Riemann-Hypothese

Die Geschichte der Apéry-Konstante beginnt nicht im Jahr 1978, sondern mehr als drei Jahrhunderte früher, in einer Zeit, in der Mathematiker noch um die Grundlagen ihrer Disziplin rangen. Um zu verstehen, warum die Irrationalität von ζ(3) eine so große Sensation war, müssen Sie einen Blick auf die Vorgeschichte werfen, auf ein Problem, das die besten Köpfe Europas über neun Jahrzehnte beschäftigte.

Im Jahr 1644 stellte der italienische Mathematiker Pietro Mengoli eine scheinbar harmlose Frage: Was ergibt die Summe aller Kehrwerte der Quadratzahlen, also 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² und so weiter bis ins Unendliche? Dieses als Basler Problem bekannte Rätsel widerstand allen Lösungsversuchen. Die Reihe konvergiert, doch niemand konnte ihren exakten Wert bestimmen.

Eulers Durchbruch im Jahr 1734/35

Fast neunzig Jahre später gelang dem damals 27-jährigen Schweizer Mathematiker Leonhard Euler der Durchbruch. Euler, geboren in Basel, fand nicht nur die Lösung für das Basler Problem, sondern schuf dabei ein Werkzeug von ungeahnter Tragweite: die Zeta-Funktion. Diese Funktion, geschrieben als ζ(s), ordnet jeder Zahl s die unendliche Summe 1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + ... zu. Das Basler Problem entspricht dabei dem Spezialfall ζ(2).

Euler bewies, dass sich alle geraden Zeta-Werte als rationale Vielfache von Potenzen der Kreiszahl π ausdrücken lassen. So ergibt sich etwa ζ(2) = π²/6 und ζ(4) = π⁴/90. Für ungerade Werte wie ζ(3) jedoch fand Euler keinen geschlossenen Ausdruck. Die Vermutung, dass diese Werte möglicherweise irrational sein könnten, blieb reine Spekulation, denn ein Beweis gelang ihm nicht. Entgegen einer verbreiteten Annahme gibt es keine historischen Belege dafür, dass Euler jemals einen solchen Beweisversuch unternommen hätte.

Riemanns kühne Hypothese

Der nächste entscheidende Schritt erfolgte im Jahr 1859. Der deutsche Mathematiker Bernhard Riemann, damals Professor in Göttingen, erweiterte die Zeta-Funktion auf komplexe Zahlen und entdeckte dabei eine tiefe Verbindung zur Verteilung der Primzahlen. In seiner Arbeit stellte er die berühmte Riemann-Hypothese auf: Alle nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion liegen auf einer bestimmten Geraden in der komplexen Ebene. Diese Vermutung gilt bis heute als eines der größten ungelösten Probleme der Mathematik und ist eines der Millennium-Probleme, für deren Lösung eine Million US-Dollar ausgelobt sind.

Die Zeta-Funktion und ihre Verwandten, die sogenannten L-Funktionen, sind eng mit der Frage verknüpft, wie Primzahlen in verschiedenen Zahlensystemen verteilt sind. Diese Verbindung macht die Funktion zu einem unverzichtbaren Werkzeug in der Zahlentheorie und der Kryptographie. Die ungeraden Zeta-Werte jedoch, insbesondere ζ(3), blieben hartnäckig verschlossen. Erst Roger Apéry gelang es 1978, die Irrationalität von ζ(3) zu beweisen, ein Meilenstein, der die mathematische Welt in Staunen versetzte und bis heute als einer der überraschendsten Beweise des 20. Jahrhunderts gilt.

Warum Physiker die Apéry-Konstante brauchen

Die Apéry-Konstante ist weit mehr als eine Kuriosität der Zahlentheorie. In der Mitte des 20. Jahrhunderts entdeckten Physiker, dass diese scheinbar abstrakte Konstante tief in den Fundamenten der Quantenphysik verwurzelt ist, wo sie bei der Beschreibung des Verhaltens von Licht und Materie eine überraschende Rolle spielt.

In den 1940er-Jahren entwickelten Forscher die Quantenelektrodynamik, kurz QED, die bis heute als die präziseste physikalische Theorie gilt. Ihr Gegenstand ist die Wechselwirkung zwischen Licht und geladenen Teilchen wie dem Elektron. Das Besondere daran: Das Quantenvakuum ist keineswegs leer. Es wimmelt von kurzlebigen Teilchen-Antiteilchen-Paaren, die ständig aus dem Nichts entstehen und im nächsten Augenblick wieder vergehen. Diese flüchtigen Erscheinungen, die man als virtuelle Teilchen bezeichnet, sind nicht einfach nur ein theoretisches Gedankenspiel. Sie beeinflussen messbar das Verhalten realer Teilchen.

Wenn Physiker beispielsweise die Streuung zweier Elektronen berechnen, müssen sie diese virtuellen Teilchen berücksichtigen. Genau hier taucht die Apéry-Konstante auf. Konkret spielt ζ(3) eine zentrale Rolle bei der Berechnung des anomalen magnetischen Moments des Elektrons, jener winzigen Abweichung vom idealisierten Wert, die sich durch die Wechselwirkung des Elektrons mit dem fluktuierenden Vakuum ergibt. Die Übereinstimmung zwischen Theorie und Experiment ist in diesem Bereich bemerkenswert und zählt zu den großen Erfolgen der modernen Physik.

Für physikalische Anwendungen genügen wenige Dezimalstellen von ζ(3), um Vorhersagen zu treffen, die mit jedem Experiment übereinstimmen. Für Mathematiker ist das jedoch nur der Anfang. Sie wollen nicht wissen, wie viele Nachkommastellen man berechnen kann, sondern ob sich die Zahl überhaupt exakt als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt. Diese Frage, die Roger Apéry 1978 in Marseille so spektakulär beantwortete, bleibt der eigentliche Kern der Faszination.