# Surreale Zahlen: Wie Conway 1972 das Unendliche zähmte

*Wissenschaft & Technik · Ayşe Demir-Müller · 2026-09-23*

## Key facts

- Die surrealen Zahlen wurden von John Conway in den frühen 1970er Jahren entwickelt, angeregt durch das Brettspiel Go.
- Jede surreale Zahl entsteht aus zwei Mengen bereits vorhandener Zahlen, einer linken und einer rechten.
- Das System enthält die reellen Zahlen als Teilmenge und ergänzt sie um unendlich große und unendlich kleine Werte.
- Donald Knuth veröffentlichte 1974 ein einflussreiches Buch, das die surreale Konstruktion populär machte.
- Die kleinste unendlich große Zahl heißt Omega, die kleinste unendlich kleine Zahl Epsilon.

Das Wichtigste in Kürze

Die surrealen Zahlen gehen auf John Conway zurück, der sie in den frühen 1970er Jahren im Zusammenhang mit dem Go-Spiel beschrieb. Sie entstehen aus zwei Mengen von bereits bekannten Zahlen und umfassen sowohl unendlich große Werte wie Omega als auch unendlich kleine wie Epsilon. Donald Knuth machte das System 1974 mit einem Buch einem breiteren Publikum bekannt.

## Die Frage, die zunächst absurd klingt, und doch eine Antwort hat

Was ist die Quadratwurzel aus Unendlich? Stellen Sie sich diese Frage laut in einem Café, und Sie ernten höfliches Kopfschütteln. Unendlich ist doch keine Zahl, sondern eine Grenze, ein Horizont, etwas, das man nicht in eine Wurzel steckt. Und trotzdem gibt es eine Welt, in der diese Frage nicht nur erlaubt ist, sondern eine saubere, präzise Antwort hat. Diese Welt heißt die Welt der **Surrealen Zahlen**.

Surreale Zahlen sind ein Zahlensystem, das unsere vertraute Zahlenwelt nicht ersetzt, sondern erweitert. Es kennt die natürlichen Zahlen, die Brüche, die irrationalen Zahlen wie die Wurzel aus 2. Und dann geht es weiter, dorthin, wo Schulbücher längst aufhören. Dort wohnen Zahlen, die größer sind als jede natürliche Zahl, und andere, die kleiner sind als jeder noch so winzige positive Bruch. Und in dieser erweiterten Landschaft lässt sich tatsächlich die Quadratwurzel aus Unendlich ziehen.

Klingt nach einem Spiel für Spezialisten? Vielleicht. Aber es ist ein Spiel mit einer erstaunlichen Herkunft. Es beginnt mit einem Mathematiker, der Freude an Puzzles und Brettspielen hatte, und mit einem Buch, das in den frühen 1970er Jahren entstand, angeblich in einem Osloer Hotelzimmer. Wer tiefer eintaucht, findet ein System, das auf zwei verblüffend einfachen Regeln aufbaut und aus diesen Regeln heraus ganze Zahlenwelten wachsen lässt, endliche und unendliche zugleich.

Die Frage nach der Quadratwurzel aus Unendlich ist also kein Scherz. Sie ist eine Einladung, die Grenzen des gewohnten Zahlenbegriffs zu verschieben. Genau dort beginnt die Geschichte der surrealen Zahlen.

## Eine schlaflose Nacht in Oslo: Wie Donald Knuth die surrealen Zahlen berühmt machte

Stellen Sie sich vor, Sie sind im Urlaub, weit weg von Schreibtisch und Pflichten, und mitten in der Nacht werden Sie von einem Gedanken wachgerüttelt, der Sie nicht mehr loslässt. Genau das soll dem amerikanischen Informatiker und Mathematiker Donald Knuth widerfahren sein. So wird berichtet, dass er Anfang der 1970er Jahre mit seiner Frau einen Urlaub in Norwegen verbrachte. In einer Nacht, so erzählt man sich, packte ihn eine geradezu unbändige Schreiblust. Er weihte seine Frau in sein Vorhaben ein, ließ sich in Oslo ein Hotelzimmer geben und schrieb dort in konzentrierter Ruhe ein Buch, das die Mathematikgeschichte mitprägen sollte.

Der Titel klingt heute noch so ungewöhnlich wie sein Entstehungsort: *Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned On to Pure Mathematics and Found Total Happiness*. Knuth veröffentlichte es 1974. Wer nun erwartet, ein trockenes Lehrbuch aufzuschlagen, wird überrascht sein. Das Werk ist kein klassischer Fachtext, sondern ein Dialog zwischen zwei erfundenen Figuren namens Alice und Bill. In diesem Zwiegespräch entwickeln die beiden, ganz nebenbei und mit spürbarer Begeisterung, die Grundlagen der surrealen Zahlen. Die Form erinnert fast an ein Theaterstück, und genau darin liegt ihr Reiz.

Eines sollte man dabei nicht verwechseln: Knuth hat die surrealen Zahlen nicht erfunden. Die eigentliche Entdeckung geht auf den britischen Mathematiker John Horton Conway zurück, der das Konzept in den frühen 1970er Jahren im Umfeld der Spielanalyse entwickelte und es 1976 in seinem Werk *On Numbers and Games* ausführlich darlegte. Knuths Verdienst ist ein anderer, und er ist kaum zu unterschätzen: Er machte den Begriff überhaupt erst populär. Sein schmales Buch von 1974 gilt bis heute als eines der Grundlagenwerke zu diesem Thema, als jene Tür, durch die viele Leserinnen und Leser zum ersten Mal diesen merkwürdigen Zahlen begegnet sind.

So steht am Anfang dieser Geschichte also kein Lehrstuhl und keine Vorlesung, sondern ein waches Hotelzimmer in Oslo und der Drang, eine Idee zu Papier zu bringen, bevor sie sich wieder verflüchtigt. Der Rest ist Mathematik.

## Ein Mathematiker, der aus Spielen Mathematik machte: John Horton Conway

Manche Menschen rechnen, weil sie müssen. John Horton Conway rechnete, weil es ihm Freude bereitete. Der britische Mathematiker, geboren 1937 in Liverpool, hatte eine fast kindliche Lust am Spielen, am Basteln, am Ausprobieren. Und genau diese Lust wurde ihm zum Werkzeug. Wo andere trockene Formeln sahen, sah Conway ein Brett, auf dem sich etwas bewegen ließ.

Diese Haltung brachte ihm seinen vielleicht berühmtesten Einfall: das *Game of Life*, das er 1970 entwickelte. Ein Spielfeld aus Zellen, ein paar simple Regeln, und plötzlich entstehen Muster, die wandern, wachsen, verschwinden. Aus nichts als Nachbarschaftsregeln erwächst so etwas wie Leben. Kaum ein mathematisches Spiel hat eine solche Fangemeinde gefunden, und kaum eines zeigt so deutlich, wie Conway dachte: einfach anfangen, genau hinschauen, staunen.

Doch er blieb nicht beim Spiel. 1973 veröffentlichte er den **Doomsday-Algorithmus**, eine Methode, mit der sich der Wochentag eines beliebigen Datums im Kopf berechnen lässt. Wer ihn beherrscht, weiß in Sekunden, auf welchen Tag der 14. Juli 1789 fiel. Auch das ist typisch Conway: ein elegantes Verfahren, das eine alltägliche Frage spielerisch auflöst.

Sein größter Beitrag zur Mathematik aber trägt einen Namen, der neugierig macht: die **Surrealen Zahlen**. Angeblich entstanden sie um 1972, als Conway das Brettspiel Go analysierte. Ob wirklich das Go-Spiel allein den Anstoß gab und ob das Jahr genau 1972 stimmt, lässt sich nicht sicher belegen. Gesichert ist dagegen, dass er in diesen Jahren ein völlig neues Zahlensystem ersann, das er 1976 in seinem Buch *On Numbers and Games* vorlegte.

Conway ging von zwei denkbar schlichten Regeln aus. Jede Zahl wird durch zwei Mengen beschrieben, eine linke und eine rechte. Und jedes Element der linken Menge muss kleiner sein als jedes Element der rechten. Aus diesem einen Gedanken lässt sich die gesamte Welt der Zahlen aufbauen, und noch einiges mehr.

Berühmt wurde das Konzept auch durch einen anderen: Donald Knuth, der es 1974 in einem schmalen Buch mit dem Titel *Surreal Numbers* einem breiten Publikum nahebrachte. Knuth war nicht der Erfinder, aber derjenige, der den Begriff prägte. Sein Werk ist als Dialog zwischen zwei fiktiven ehemaligen Studierenden angelegt, die gemeinsam die Mathematik dahinter entdecken.

Conway starb am 11. April 2020 an den Folgen von COVID-19. Ein Mann, der ein Leben lang mit Zahlen und Spielen hantiert hatte, wurde von einer Pandemie aus der Welt gerissen, die sich mit Zahlen nur beschreiben, nicht bespielen lässt. Was bleibt, ist ein Werk von seltener Verspieltheit.

## Zwei Mengen, eine Regel: Wie surreale Zahlen entstehen

Stellen Sie sich vor, Sie dürfen eine Zahl nicht einfach hinschreiben. Sie dürfen nur zwei Mengen auf den Tisch legen, eine linke und eine rechte, und dazwischen einen senkrechten Strich ziehen. Klingt nach einer seltsamen Spielregel? Genau so funktioniert der Bauplan der surrealen Zahlen, und er ist verblüffend einfach.

Der Mathematiker John Horton Conway hat dieses System in den frühen 1970er Jahren entwickelt, im Umfeld der Analyse des Brettspiels Go. Seine Grundidee: Jede surreale Zahl wird durch zwei Mengen definiert, eine linke Menge und eine rechte. Man schreibt das so:

**x = {ML : MR}**

Dabei steht **ML** für die linke Menge und **MR** für die rechte. Mehr braucht es nicht. Zwei Mengen, ein Strich dazwischen, und schon entsteht eine Zahl.

Doch ohne Regel wäre das Ganze beliebig, und Beliebigkeit ergibt keine Mathematik. Deshalb gilt eine eiserne Bedingung: **Jedes Element der linken Menge muss kleiner sein als jedes Element der rechten Menge.** Nicht nur kleiner als das passende Gegenüber, sondern kleiner als alles, was rechts steht. Verletzen Sie diese Bedingung, ist die Konstruktion ungültig. Die Null wiederum übernimmt die Rolle der Grenze zwischen den beiden Seiten, sie liegt genau in der Mitte.

### Knuths Notation: die ersten Zahlen aus dem Nichts

Donald Knuth, der mit seinem Buch von 1974 den Begriff der surrealen Zahlen populär machte, wählte für diesen Bauplan eine besonders knappe Schreibweise. Die Null entsteht, wenn beide Mengen leer bleiben:

| Zahl | Notation |
|---|---|
| 0 | { : } |
| 1 | {0 : } |
| -1 | { : 0} |
| 1/2 | {0 : 1} |
| 2 | {1 : } |

Sehen Sie, wie sparsam das ist? Für die Null steht links und rechts nichts. Für die Eins steht links die Null, rechts bleibt es leer. Für die negative Eins dreht sich das Bild um. Und die Hälfte? Die entsteht, indem links die Null und rechts die Eins steht. Die Zahl zwei schließlich bekommt links die Eins, rechts nichts.

Wenn Sie dieses Verfahren fortsetzen, erhalten Sie nach und nach alle ganzen Zahlen und dazu Brüche, deren Nenner Zweierpotenzen sind. Also Halbe, Viertel, Achtel und so weiter. Aus zwei Mengen und einer einzigen Größenvorschrift wächst so ein ganzes Zahlensystem heran.

Und das Beste kommt noch: Irgendwann stoßen Sie auf Werte, die es in den gewohnten reellen Zahlen gar nicht gibt. Was dort genau passiert, ist eine eigene Geschichte.

## Omega und Epsilon: Wenn das Unendliche und das unendlich Kleine auftauchen

Bisher haben wir mit den surrealen Zahlen vor allem vertraute Werte erzeugt: ganze Zahlen, Brüche mit Zweierpotenzen im Nenner, schließlich sogar Wurzeln und irrationale Zahlen wie π. Das alles wirkt noch vergleichsweise zahm. Doch genau an dieser Stelle kippt die Geschichte, und das System zeigt, warum es seinen Namen trägt.

Um zu verstehen, was jetzt geschieht, hilft ein kurzer Blick darauf, wie die Mathematik die Unendlichkeit überhaupt sortiert. Sie unterscheidet zwei Arten: eine **abzählbare** und eine **überabzählbare** Unendlichkeit. Das Symbol ω (Omega) steht für eine abzählbare Unendlichkeit, also für die Ordnung der natürlichen Zahlen 1, 2, 3 und so weiter. Die reellen Zahlen dagegen sind mächtiger als die natürlichen. Dass es mehr reelle als natürliche Zahlen gibt, zeigte der Mathematiker Georg Cantor 1891 mit seinem berühmten Diagonalargument. Zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen liegt stets noch eine weitere, ein lückenloses Abzählen ist unmöglich.

### Eine Zahl, die größer ist als jede natürliche Zahl

Jetzt der entscheidende Schritt. Stellen Sie sich vor, Sie legen alle natürlichen Zahlen in die linke Menge und lassen die rechte Menge einfach leer. Nach den Regeln der surrealen Zahlen entsteht daraus ein neuer Wert: ω. Diese Zahl ist größer als jede einzelne natürliche Zahl, die Sie nennen können. Und weil die rechte Menge leer bleibt, wird alles, was Sie dort später hinzufügen, noch größer sein als ω selbst.

Das allein ist schon bemerkenswert. Doch es kommt noch seltsamer. Legen Sie in die linke Menge nur die Null und lassen rechts Werte wie 1, 1/2, 1/4 und immer kleinere Brüche stehen, entsteht eine Zahl namens ε (Epsilon). Sie ist so winzig, dass sie kleiner ist als jede positive reelle Zahl. Anders gesagt: Im gewohnten System der reellen Zahlen existiert eine solche Zahl überhaupt nicht. Erst die surrealen Zahlen schaffen den Raum für dieses unendlich Kleine, das gewissermaßen der Kehrwert der Unendlichkeit ist.

### Rechnen mit dem Unendlichen

Und nun wird es wirklich erstaunlich. Im System der surrealen Zahlen lässt sich mit diesen Größen ganz normal rechnen. Sie können Unendlich zu Unendlich addieren, also etwa ω + 1 oder ω − 1 bilden, und erhalten neue, noch feinere Stufen des Unendlichen. Ja, es ist sogar möglich, die Quadratwurzel aus einer Unendlichkeit zu ziehen. Was in der Schulmathematik als unsinnige Frage gilt, hat hier eine klare Antwort.

Man darf sich dieses System allerdings nicht als durchgehende Zahlengerade vorstellen. Die surrealen Zahlen sind umfassender als die reellen, bilden aber keine lückenlose Struktur. Zwischen zwei Werte lassen sich stets noch kleinere unendlich kleine Zahlen einschieben, sodass die vertraute Vorstellung einer geschlossenen Linie hier an ihre Grenzen stößt. Genau diese Offenheit macht den Reiz des Systems aus: Es ist nie fertig, es wächst mit jeder neuen Menge, die Sie bilden.

## Mehr Zahlen als die reellen, und doch keine durchgehende Linie

Es klingt nach einem Widerspruch: Ein Zahlensystem, das die reellen Zahlen an Fülle übertrifft, und trotzdem keine lückenlose Linie ergibt. Genau an diesem Punkt wird die Diskussion über die surrealen Zahlen heikel, denn die gängige Erzählung greift hier etwas zu kurz. Häufig heißt es, die surrealen Zahlen seien zahlreicher als die reellen Zahlen, bildeten aber keine kontinuierliche Struktur, sodass auf einer Zahlengeraden Lücken blieben. Diese Darstellung ist mathematisch nicht ganz präzise und wird unter Fachleuten als umstritten eingeordnet.

Um zu verstehen, worum es eigentlich geht, hilft ein Blick auf die Größenordnungen. Die reellen Zahlen bilden eine überabzählbare Menge, sie sind also gewissermaßen „mehr" als die natürlichen Zahlen. Die surrealen Zahlen gehen noch darüber hinaus und lassen sich nicht mehr als Menge im üblichen Sinn fassen. Sie sind so umfassend, dass man sie als eigene Klasse behandelt. Insofern stimmt der Kern der Aussage: Es gibt in gewisser Weise mehr surreale Zahlen als reelle.

Der zweite Teil der Erzählung führt dagegen in die Irre. Wenn von „Lücken" auf einer Zahlengeraden die Rede ist, klingt das, als fehlten zwischen den surrealen Zahlen bestimmte Werte. Das ist nicht der Fall. Der eigentliche Grund für diese Vorstellung liegt woanders: Zwischen zwei vorhandene Zahlen lassen sich stets noch kleinere, unendlich kleine Werte einfügen. Solche infinitesimalen Größen, oft mit dem Symbol ε bezeichnet, sind keine reellen Zahlen. Sie liegen zwischen 0 und jeder noch so kleinen positiven reellen Zahl.

Diese unendlich kleinen Werte sind es, die das Bild von der lückenhaften Linie entstehen lassen. Wer versucht, surreale Zahlen auf einer gewohnten Zahlengeraden unterzubringen, stößt auf Strukturen, die sich dort nicht sauber einordnen lassen. Das bedeutet aber nicht, dass das System unvollständig wäre. Im Gegenteil: Es ist gerade seine ungewöhnliche Dichte, die es so schwer macht, es mit den vertrauten Bildern zu beschreiben.

Kurz gesagt: Die surrealen Zahlen sind tatsächlich umfassender als die reellen Zahlen. Die verbreitete Vorstellung, sie bildeten eine lückenhafte Linie, beschreibt jedoch eher die Grenzen unserer Anschauung als eine Eigenschaft des Systems selbst.

## Knuths Überzeugung und die offene Frage in der Physik

Donald Knuth, geboren 1938 und einer der einflussreichsten Informatiker des 20. Jahrhunderts, war nicht der Erfinder der surrealen Zahlen. Diese gehen auf John Horton Conway zurück. Doch Knuth war es, der den Begriff mit seinem 1974 erschienenen Buch „Surreal Numbers" prägte und einer breiteren Öffentlichkeit bekannt machte. Ihm wird die Auffassung zugeschrieben, das System der surrealen Zahlen sei ebenso geeignet, unsere Welt zu beschreiben, wie die vertrauten Zahlen. Ob diese Einschätzung tatsächlich in dieser Klarheit von ihm stammt, lässt sich nicht mit Sicherheit belegen.

Ihm wird ein Satz zugeschrieben, der zum Nachdenken anregt: „Wenn die Menschen das hundert Jahre lang in der Schule gelernt hätten, würden sie denken, dass Zahlen so sind." Eine exakte Verifikation dieses Zitats steht aus. Der Gedanke dahinter ist bestechend. Zahlen sind keine Naturgegenstände, die man einfach vorfindet. Sie sind Werkzeuge, die der menschliche Geist entwickelt hat, und welches Werkzeug wir für selbstverständlich halten, hängt davon ab, welches wir zuerst kennengelernt haben.

Berichten zufolge haben Physiker versucht, surreale Zahlen in ihre Theorien einzubinden. Bislang, so heißt es, ohne greifbare Ergebnisse. Diese pauschale Aussage gilt allerdings als zu stark. Es gibt vereinzelte theoretische Arbeiten, etwa aus dem Jahr 2016 von Juan Nieto, die einen möglichen Nutzen surrealer Zahlen in Physik und Kosmologie untersuchen. Von einem völligen Fehlschlag kann also keine Rede sein. Ebenso wenig lässt sich behaupten, die surreale Zahlenwelt habe in der Physik bereits Fuß gefasst.

Was bleibt, ist eine offene Frage. Mathematik und Physik sind keine fertigen Gebäude, sondern Felder, die sich ständig weiterentwickeln. Ob die surrealen Zahlen eines Tages eine Rolle spielen werden, die über die reine Mathematik hinausgeht, weiß heute niemand zu sagen. Vielleicht braucht es einen ähnlichen Moment wie jenen, in dem Conway beim Nachdenken über das Brettspiel Go auf eine Struktur stieß, die weit über das Spiel hinauswies. Vielleicht bleibt es bei einem faszinierenden Gedankengebäude. Beides ist möglich. Sicher ist nur, dass die Geschichte der Zahlen noch nicht zu Ende erzählt ist.


## Frequently asked questions

**Was sind surreale Zahlen und wer hat sie erfunden?**

Surreale Zahlen sind ein Zahlensystem, das der Mathematiker John Horton Conway in den frühen 1970er Jahren entwickelte. Conway lehrte in Princeton und starb am 11. April 2020 an den Folgen von COVID-19. Er erfand außerdem den Doomsday-Algorithmus zur schnellen Berechnung des Wochentags und das berühmte Game of Life. Der Begriff selbst wurde jedoch durch Donald Knuth populär, der 1974 das Buch „Surreal Numbers“ veröffentlichte.

**Wie funktioniert die Konstruktion mit linker und rechter Menge?**

Conway legte für surreale Zahlen zwei Grundregeln fest. Jede Zahl wird durch ein Paar von Mengen definiert, geschrieben als x = {ML : MR}, wobei ML die linke und MR die rechte Menge bezeichnet. Entscheidend ist, dass jedes Element der linken Menge kleiner sein muss als jedes Element der rechten. So entsteht aus {0 : 1} die Zahl 1/2, aus {1 : } die Zahl 2.

**Warum entdeckte Conway sie bei der Analyse des Go-Spiels?**

Conway hatte eine kindliche Freude an Spielen und Rätseln, und genau diese Leidenschaft speiste seine mathematische Arbeit. Angeblich stieß er um 1972 bei der Analyse des Go-Brettspiels auf die surrealen Zahlen. Aus wenigen einfachen Regeln entwickelte er so einen neuen Weg, alle Zahlen zu erzeugen, ob endlich oder unendlich.

**Was bedeutet das Symbol Omega?**

In der Mathematik unterscheidet man zwischen abzählbarer und überabzählbarer Unendlichkeit. Das Symbol ω steht für eine abzählbare Unendlichkeit, also die Ordnung der natürlichen Zahlen 1, 2, 3 und so weiter. Setzt man alle natürlichen Zahlen in die linke Menge und lässt die rechte leer, erhält man eine Zahl, die größer ist als jede natürliche Zahl.

**Wie beschreibt Donald Knuth die surrealen Zahlen in seinem Buch von 1974?**

Knuth verfasste sein Buch „Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned On to Pure Mathematics and Found Total Happiness“ als Dialog zwischen den fiktiven Figuren Alice und Bill. Darin definiert er die Null in der Schreibweise 0 = { : }. Angeblich entstand das Werk Anfang der 1970er Jahre, als Knuth mit seiner Frau in Norwegen urlaubte und sich in Oslo ein Hotelzimmer nahm.

**Warum sind surreale Zahlen zahlreicher als reelle Zahlen, bilden aber kein Kontinuum?**

Die surrealen Zahlen sind tatsächlich umfassender als die reellen Zahlen, doch sie bilden keine durchgehende Struktur. Zwischen zwei Werte lassen sich stets noch kleinere unendlich kleine Zahlen einfügen, weshalb die vertraute Vorstellung einer geschlossenen Zahlengeraden hier an ihre Grenzen stößt. Die reellen Zahlen sind zwar überabzählbar, doch die surrealen gehen noch darüber hinaus.

**Können Physiker surreale Zahlen in ihre Theorien einbinden?**

Es gibt vereinzelte theoretische Arbeiten, die surreale Zahlen in Physik und Kosmologie anwenden wollen. Ob diese Versuche tatsächlich zu greifbaren Ergebnissen führen, lässt sich derzeit nicht sicher sagen. Fest steht nur, dass Mathematik und Physik sich ständig weiterentwickeln, weshalb kaum vorherzusagen ist, welche Rolle dieses Zahlensystem künftig spielen wird.

**Wie berechnet man die Wurzel aus unendlich mit surrealen Zahlen?**

Innerhalb der surrealen Zahlen lassen sich Unendlichkeiten addieren, und sogar die Quadratwurzel aus Unendlich ist definiert. So entstehen neben ω auch Werte wie ω + 1 und ω − 1. Ihm wird die Auffassung zugeschrieben, dass dieses System unsere Welt ebenso gut beschreiben könne wie die vertrauten Zahlen, und ihm wird ein Satz zugeschrieben, der sinngemäß lautet, dass Menschen, die das hundert Jahre lang in der Schule gelernt hätten, denken würden, Zahlen seien so. Hinweis der Redaktion: Nicht abschließend gesicherte Angaben, etwa zu Datierungen und Hintergründen, sind im Text bewusst als unsicher gekennzeichnet.

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