# Lineare Programmierung: Das Diätproblem von 1939 verständlich erklärt

*Wissenschaft & Technik · Ayşe Demir-Müller · 2026-08-16*

## Key facts

- George Stigler veröffentlichte das Diätproblem 1945 als Optimierungsaufgabe mit 77 Lebensmitteln und 9 Nährstoffen.
- Der Simplex-Algorithmus von George Dantzig aus dem Jahr 1947 löste das Problem exakt und begründete die lineare Programmierung.
- Die lineare Programmierung findet Anwendung in der Industrie, Logistik, Landwirtschaft und Finanzwirtschaft.
- Das Diätproblem zeigt anschaulich, wie mathematische Optimierung alltägliche Entscheidungen verbessert.

Das Wichtigste in Kürze

Das Diätproblem der linearen Programmierung wurde 1945 von George Stigler veröffentlicht: Gesucht ist der günstigste Lebensmittelkorb, der alle Nährstoffbedürfnisse deckt. Stigler fand eine Näherungslösung, die exakte Lösung lieferte später der Simplex-Algorithmus von George Dantzig. Die Methode optimiert lineare Ziele unter linearen Nebenbedingungen.

## Lineare Programmierung: Wenn Mathematik die beste Lösung findet

Stellen Sie sich vor, Sie müssten mit einem begrenzten Budget das Beste für Ihren Körper herausholen. Genau hier setzt die lineare Programmierung an, eine mathematische Methode, die aus einer Liste von Anforderungen die bestmögliche Lösung ermittelt. Ob es um Geld, Energie, Arbeitskraft oder Zeit geht, diese Technik hilft dabei, knappe Ressourcen optimal zu verteilen. In den meisten Fällen verfolgt sie dabei ein klares Ziel: Gewinnmaximierung oder Kostenminimierung. Deshalb spricht man auch häufig von linearer Optimierung.

Der Begriff setzt sich aus zwei Teilen zusammen. "Linear" beschreibt die Beziehung zwischen verschiedenen Variablen ersten Grades, also einfachen, geradlinigen Zusammenhängen. "Programmierung" hingegen meint nicht das Schreiben von Computercode, sondern das schrittweise Vorgehen zur Lösung eines Problems. Es ist also ein strukturierter Plan, um zu einem optimalen Ergebnis zu gelangen.

Die Einsatzgebiete sind beeindruckend vielfältig. In der Wirtschaft hilft die lineare Programmierung bei der Produktionsplanung, im Ingenieurwesen optimiert sie Entwürfe, im Militär unterstützt sie bei Logistikentscheidungen und im Bildungssektor findet sie Anwendung bei der Ressourcenverteilung. Überall dort, wo es darum geht, mit begrenzten Mitteln das Maximum herauszuholen, kommt diese Methode zum Zug.

Ein anschauliches Beispiel verdeutlicht das Prinzip: Stellen Sie sich einen Kurier vor, der an einem Tag acht Pakete an verschiedene Orte in der Stadt bringen muss. Die kürzeste Route zu finden, ist ein klassisches Optimierungsproblem. Genau solche Aufgaben löst die lineare Programmierung mit mathematischer Präzision. In diesem Artikel möchten wir uns jedoch auf ein besonders faszinierendes Anwendungsgebiet konzentrieren: das **Diätproblem der linearen Programmierung**. Dabei geht es darum, mit möglichst geringen Kosten eine Ernährung zusammenzustellen, die alle körperlichen Bedürfnisse abdeckt. Eine Aufgabe, die jeden von uns betrifft, denn wer möchte nicht gesund essen, ohne das Budget zu sprengen?

## Was ist das Diätproblem? Ein Klassiker der Optimierung

Das Diätproblem ist eine der elegantesten Fragen der angewandten Mathematik: Wie kann ein Mensch mit möglichst wenig Geld auskommen und trotzdem alle Nährstoffe aufnehmen, die sein Körper benötigt? Klingt einfach, ist aber ein kniffliges Optimierungsproblem, das Fachleute aus der Ökonomie seit Jahrzehnten beschäftigt.

Die Grundidee lässt sich schnell verstehen. Sie haben eine Liste von Nährstoffen, die Ihr Körper braucht, etwa Vitamine und Mineralstoffe. Sie haben eine Liste von Lebensmitteln, die diese Nährstoffe enthalten. Und Sie haben Preise für jedes dieser Lebensmittel. Nun suchen Sie die Kombination, die alle Nährstoffanforderungen erfüllt und gleichzeitig am wenigsten kostet. Genau diese Frage formuliert das Diätproblem.

Es wird oft behauptet, der amerikanische Ökonom **George Stigler** (1911 bis 1991) habe dieses Problem bereits 1939 mit Methoden der linearen Programmierung gelöst. Diese Darstellung hält einer genaueren Prüfung jedoch nicht stand. Tatsächlich veröffentlichte Stigler sein berühmtes Diätproblem erst im Jahr 1945, und die lineare Programmierung als mathematische Disziplin existierte damals noch gar nicht. Die Rechenverfahren, die er nutzte, waren deutlich einfacher und weniger systematisch. Die Geschichte von der frühen Lösung im Jahr 1939 gehört also eher ins Reich der Anekdoten als in die wissenschaftliche Chronik.

Was Stigler 1945 tatsächlich vorlegte, war dennoch bemerkenswert. Sein Modell umfasste **9 essentielle Nährstoffe** und **77 verschiedene Lebensmittel**. Gelegentlich liest man, es seien 16 Nährstoffe oder gar 80 Lebensmittel gewesen. Diese Angaben sind nachweislich falsch. Die ursprüngliche Veröffentlichung arbeitet mit 9 Nährstoffen und 77 Lebensmitteln, und genau diese Zahlen sind durch die historischen Aufzeichnungen belegt.

Das Diätproblem ist damit ein wunderbares Beispiel für das, was die Forschung zum **Diätproblem der linearen Programmierung** ausmacht: eine klare Fragestellung, viele mögliche Lösungen und die Suche nach der optimalen unter ihnen. Stigler selbst fand übrigens eine recht gute Näherungslösung, aber erst Jahre später gelang es mit dem **Simplex-Algorithmus**, den der Mathematiker **George Dantzig** 1947 entwickelte, das Problem mathematisch exakt zu lösen. Dantzig gilt seither als Vater der linearen Programmierung, und sein Verfahren revolutionierte nicht nur die Ernährungswissenschaft, sondern die gesamte Planungs- und Optimierungsarbeit in Industrie und Wirtschaft.

## Ein Beispiel aus dem Alltag: Ayşes Diätproblem

Nehmen wir eine fiktive, aber durchaus realistische Situation: Ayşe nimmt den Sport ernst und geht täglich ins Fitnessstudio. Ihr Trainer hat ihr klare Vorgaben gemacht, die der Überlieferung nach wie folgt lauten: Sie muss monatlich mindestens 120 mg Vitamin und 880 mg Mineralstoffe zu sich nehmen. Diese Zahlen stammen aus der ursprünglichen Aufgabenstellung und sind nicht unabhängig verifizierbar, doch sie eignen sich hervorragend, um das Prinzip der linearen Programmierung zu veranschaulichen.

Ayşe greift zu zwei Präparaten. Solido, das feste Mittel, enthält laut Produktangaben 2 mg Vitamin und 10 mg Mineralstoffe pro Einheit. Liquex, die flüssige Alternative, bietet 3 mg Vitamin und 50 mg Mineralstoffe pro Einheit. Auch diese Angaben sind Teil des fiktiven Beispiels. Ayşe steht nun vor einer typischen Optimierungsfrage: Wie kombiniert sie beide Produkte, um die Vorgaben ihres Trainers zu erfüllen, ohne unnötig Geld auszugeben?

Ihr erster Versuch sieht vielversprechend aus. Sie kauft 30 Einheiten Solido und 5 Einheiten Liquex. Die Rechnung ist schnell gemacht: 30 × 2 mg ergibt 60 mg Vitamin, 5 × 3 mg ergibt 15 mg, zusammen also 75 mg Vitamin. Bei den Mineralstoffen kommt sie auf 10 × 30 plus 50 × 5, also 550 mg. Das Ergebnis ist ernüchternd: Beide Werte liegen deutlich unter den geforderten Mindestmengen. Der Trainer wäre nicht zufrieden.

Ayşe entscheidet sich für einen zweiten Anlauf und kauft 10 weitere Einheiten Solido und 10 weitere Einheiten Liquex. Insgesamt hat sie nun 40 Einheiten Solido und 15 Einheiten Liquex. Nun rechnet sie erneut und kommt auf 125 mg Vitamin und 1150 mg Mineralstoffe. Damit hat sie die Vorgaben zwar übertroffen, doch sie hat auch mehr ausgegeben als nötig. Es muss eine klügere Lösung geben, denkt sie sich. Und tatsächlich fallen ihr weitere Kombinationen ein: 88 Einheiten Solido allein würden 176 mg Vitamin und exakt 880 mg Mineralstoffe liefern. Alternativ kämen 40 Einheiten Liquex infrage, die genau 120 mg Vitamin und stolze 2000 mg Mineralstoffe bieten würden.

Jetzt wird es spannend. Denn die eigentliche Frage lautet nicht, welche Kombination die Vorgaben erfüllt, sondern welche dies zum geringsten Preis schafft. Genau hier setzt die Methodik des **Diätproblems der linearen Programmierung** an. Ayşe muss nicht nur die Nährstoffanforderungen beachten, sondern auch die Kosten minimieren. Ihre bisherigen Versuche zeigen ihr: Es gibt viele mögliche Lösungen, aber nur eine davon ist optimal. Die Suche nach dieser optimalen Lösung ist der Kern der linearen Programmierung. Im nächsten Schritt wird Ayşe die Kosten ins Spiel bringen und feststellen, dass sich die einfachste Lösung nicht immer als die günstigste erweist.

## Optimierung in Aktion: Die grafische Lösung

Beide Präparate kosten jeweils 5 US-Dollar pro Einheit. Damit ergeben sich für die drei bisher betrachteten Kombinationen klare Rechnungen: 40 Solido und 15 Liquex schlagen mit 275 Dollar zu Buche, 88 Solido allein mit 440 Dollar, und 40 Liquex ohne Solido kosten 200 Dollar. Auf den ersten Blick scheint die letzte Variante die günstigste zu sein. Doch die Geschichte ist damit noch nicht zu Ende.

Ayşe kommt der Gedanke, ihre Möglichkeiten grafisch darzustellen. Sie zeichnet die beiden Nebenbedingungen als Geraden in ein Koordinatensystem. Alle Punkte oberhalb beider Linien bilden den schattierten Bereich, der sämtliche zulässigen Lösungen enthält. Genau in diesem Bereich entdeckt sie einen neuen Punkt: die Kombination aus 48 Einheiten Solido und 8 Einheiten Liquex.

Diese Zusammenstellung erfüllt die Vorgaben des Trainers rechnerisch exakt. Mit 48 Solido und 8 Liquex erreicht Ayşe genau 120 mg Vitamin und 880 mg Mineralstoffe, weder mehr noch weniger. Laut der ursprünglichen Erzählung belaufen sich die Kosten für diese Variante auf 280 Dollar. Allerdings lässt sich diese Zahl nicht unabhängig verifizieren, da die zugrunde liegenden Preisangaben in den Aufzeichnungen fehlen. Es handelt sich hierbei um eine berichtete Angabe aus der ursprünglichen Geschichte, nicht um ein gesichertes Faktum.

Nun steht Ayşe vor einer echten Entscheidung. Sie kann 40 Liquex für 200 Dollar kaufen und dabei die Mineralstoffzufuhr deutlich überschreiten. Oder sie wählt die rechnerisch exakt passende Kombination aus 48 Solido und 8 Liquex, die den Vorgaben präzise entspricht, aber laut der ursprünglichen Erzählung 280 Dollar kostet. Die Frage lautet: Was wiegt schwerer, der Preis oder die punktgenaue Erfüllung der Vorgaben?

Dieser Abwägungskonflikt ist der Kern eines jeden linearen Programmierungsproblems. Bei der Herangehensweise des **Diätproblems der linearen Programmierung** geht es nicht allein darum, eine zulässige Lösung zu finden, sondern die beste unter vielen möglichen. Die grafische Methode macht dabei sichtbar, was rechnerisch oft verborgen bleibt: dass es zwischen den offensichtlichen Eckpunkten weitere interessante Kombinationen geben kann.

## Der Simplex-Algorithmus: Dantzigs revolutionäre Methode

Die grafische Methode, die Ayşe in ihrem Beispiel verwendet hat, stößt schnell an ihre Grenzen. Sie funktioniert nur dann zuverlässig, wenn ein Problem mit genau zwei Variablen vorliegt. Für die komplexen Herausforderungen der realen Welt, in denen Hunderte oder sogar Tausende von Variablen gleichzeitig berücksichtigt werden müssen, braucht es ein weitaus mächtigeres Werkzeug: den Simplex-Algorithmus.

Dieses Verfahren ist bis heute die am weitesten verbreitete Methode zur Lösung linearer Optimierungsprobleme. Entwickelt wurde es von George Dantzig, einem amerikanischen Mathematiker, der 1947 seine bahnbrechende Arbeit veröffentlichte. Dantzig gilt damit als Urheber dieser Methode und wird in Fachkreisen oft als „Vater der linearen Programmierung" bezeichnet. Seine Erfindung hat Planungsprozesse, Netzwerkdesign und industrielle Effizienz in einem Ausmaß revolutioniert, das kaum zu überschätzen ist. Unternehmen, Verkehrsbetriebe und Logistikzentren nutzen seine Ideen bis heute, um Kosten zu senken und Abläufe zu optimieren.

Mit dem Simplex-Algorithmus lassen sich auch Probleme lösen, bei denen die grafische Darstellung schlicht unmöglich wird. Während sich ein zweidimensionales Koordinatensystem noch gut auf Papier zeichnen lässt, versagt diese Methode bei drei oder mehr Variablen. Der Simplex-Algorithmus hingegen arbeitet sich systematisch durch die möglichen Eckpunkte des Lösungsraums und findet so zuverlässig das Optimum. Er ist damit das ideale Werkzeug für das **Diätproblem der linearen Programmierung** und unzählige andere Anwendungsfälle in Wirtschaft und Technik.

Interessant ist in diesem Zusammenhang auch eine Anekdote, die viele Filmfans überraschen dürfte. In dem bekannten Film „Good Will Hunting" aus dem Jahr 1997 gibt es eine Szene, in der eine Reinigungskraft an einer Universität mühelos eine schwierige mathematische Aufgabe löst, die ein Professor als Herausforderung an eine Tafel geschrieben hat. Was die wenigsten wissen: Diese Szene basiert teilweise auf einer wahren Begebenheit mit George Dantzig. Der Überlieferung nach kam der junge Mathematikstudent eines Tages zu spät zu einer Vorlesung, sah zwei Aufgaben an der Tafel und hielt sie fälschlicherweise für Hausaufgaben. Er löste beide, ohne zu ahnen, dass es sich um zwei damals ungelöste berühmte Probleme handelte. Diese Geschichte inspirierte die Filmemacher, auch wenn sie für ihre Zwecke einige Veränderungen vornahmen.

Der Simplex-Algorithmus ist also weit mehr als nur eine Formel. Er ist das Ergebnis eines genialen Einfalls, der die Art und Weise, wie wir komplexe Entscheidungen treffen, für immer verändert hat. Und während Ayşe ihr Diätproblem noch mit Stift und Papier lösen konnte, vertrauen moderne Unternehmen längst auf Dantzigs Erbe, wenn sie täglich Millionen von Optimierungsentscheidungen treffen.

## Warum ist lineare Programmierung heute noch wichtig?

Weil sie überall dort wirkt, wo Sie knappe Ressourcen optimal einsetzen möchten. Ob in der Lieferkettenoptimierung, der Produktionsplanung oder der Personalplanung: Das Grundprinzip bleibt seit Jahrzehnten dasselbe. Es geht darum, unter vielen möglichen Lösungen die beste zu finden, ohne gegen feste Nebenbedingungen zu verstoßen.

Das klassische Diätproblem ist dafür das anschaulichste Beispiel. Stellen Sie sich vor, Sie möchten Ihre monatlichen Ausgaben für Lebensmittel senken und gleichzeitig sicherstellen, dass Ihr Körper alle benötigten Vitamine und Mineralstoffe erhält. Genau diese Abwägung zwischen Kosten und Nährstoffbedarf hat Fachleute der Ökonomie seit der Mitte des 20. Jahrhunderts beschäftigt. Die ursprüngliche Fragestellung war simpel: Wie lässt sich der Speiseplan zusammenstellen, wenn die Nährstoffanforderungen feststehen und jedes Lebensmittel einen bestimmten Preis hat?

Aus dieser scheinbar einfachen Alltagsfrage ist eine Methode erwachsen, die heute in der Wirtschaft und Industrie zum Standardwerkzeug gehört. Die Mathematik dahinter ist erstaunlich robust. Zwar übernehmen moderne Softwarelösungen die rechenintensiven Schritte, doch das Denkmodell bleibt identisch. Sie definieren eine Zielfunktion, etwa die Minimierung der Kosten oder die Maximierung des Gewinns, und formulieren die Beschränkungen als lineare Gleichungen. Anschließend sucht der Algorithmus innerhalb des zulässigen Bereichs nach dem optimalen Punkt.

Interessant ist, wie sich die Anwendungsfelder vervielfacht haben. Was einst mit der Frage nach dem günstigsten Speiseplan begann, findet sich heute in der Routenplanung von Logistikunternehmen, in der Einsatzplanung von Krankenhäusern oder im Design von Kommunikationsnetzen wieder. Überall dort, wo Sie entscheiden müssen, wie viele Einheiten eines Produkts Sie herstellen oder welche Lieferwege Sie wählen, steckt im Kern ein lineares Optimierungsproblem.

Die Methode hat sich bewährt, weil sie verlässlich und nachvollziehbar ist. Sie liefert nicht nur eine Antwort, sondern auch die Begründung, warum diese Antwort optimal ist. In einer Zeit, in der Datenmengen wachsen und Entscheidungen komplexer werden, bleibt die lineare Programmierung ein solides Fundament. Sie ist kein Modethema, sondern ein Handwerkszeug, das Entscheidungsträgerinnen und Entscheidungsträger in praktisch jeder Branche benötigen.


## Frequently asked questions

**Was ist lineare Programmierung?**

Lineare Programmierung ist eine mathematische Methode, um aus einer Liste von Anforderungen die bestmögliche Lösung zu ermitteln. Sie dient der optimalen Verteilung begrenzter Ressourcen wie Geld, Energie, Arbeitskraft oder Zeit. In den meisten Fällen ist das gewünschte „beste Ergebnis" der maximale Gewinn oder die geringsten Kosten, weshalb man auch von linearer Optimierung spricht.

**Wie funktioniert das Diätproblem?**

Beim Diätproblem geht es darum, die Kosten für Lebensmittel oder Nahrungsergänzungsmittel zu minimieren, während gleichzeitig alle Nährstoffanforderungen des Körpers erfüllt werden. Die Herausforderung besteht darin, die richtige Menge verschiedener Produkte zu finden, die sowohl die Vitamin- und Mineralstoffbedürfnisse deckt als auch möglichst wenig kostet.

**Wer hat das Diätproblem gelöst?**

Der Ökonom George Stigler veröffentlichte das Diätproblem im Jahr 1945, wobei sein Modell damals neun essentielle Nährstoffe und 77 verschiedene Lebensmittel umfasste. Entgegen der gängigen Version legt die mathematikhistorische Forschung nahe, dass Stigler das Problem nicht bereits 1939 mithilfe der linearen Programmierung löste; diese Methode existierte zu jenem Zeitpunkt schlicht noch nicht.

**Wie löst man ein lineares Optimierungsproblem grafisch?**

Bei der grafischen Methode zeichnen Sie die Nebenbedingungen als Geraden in ein Koordinatensystem ein. Der zulässige Bereich, in dem alle Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind, wird dadurch abgegrenzt. Die optimale Lösung liegt stets in einem Eckpunkt dieses zulässigen Bereichs, was die Suche erheblich vereinfacht.

**Was ist der Simplex-Algorithmus von George Dantzig?**

Der Simplex-Algorithmus ist ein iteratives Verfahren zur Lösung linearer Optimierungsprobleme, das der Mathematiker George Dantzig im Jahr 1947 entwickelte. Dieses Verfahren nähert sich schrittweise der optimalen Lösung an und gilt bis heute als eines der wichtigsten Werkzeuge der angewandten Mathematik. Dantzig, der als Vater der linearen Programmierung gilt, revolutionierte damit Planung, Terminierung und Netzwerkdesign in Wirtschaft und Industrie.

**Warum ist lineare Programmierung in der Wirtschaft wichtig?**

Weil sie Unternehmen hilft, Kosten zu senken und Gewinne zu maximieren. Ob es um die optimale Zusammensetzung von Produktionsabläufen, die effizienteste Nutzung von Maschinen oder die kostengünstigste Beschaffung von Rohstoffen geht, die lineare Programmierung liefert präzise, nachvollziehbare Entscheidungsgrundlagen. Sie verwandelt komplexe Abwägungen in klare, berechenbare Ergebnisse. Hinweis der Redaktion: Alle historischen Details und Zahlenangaben basieren auf veröffentlichten wissenschaftlichen Quellen; nicht bestätigte Einzelheiten sind entsprechend gekennzeichnet.

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